哪個義大利數學家研究了虛數

Ⅰ 虛數是什麼 舉一個例子有哪些

在數學中，虛數就是形如a+b*i的數，其中a、b是實數，且b≠0，i = - 1。

虛數這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創立，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數a+b*i的實部a可對應平面上的橫軸，虛部b與對應平面上的縱軸，這樣虛數a+b*i可與平面內地點(a,b)對應。

可以將虛數bi添加到實數a以形成形式a + bi的復數，其中實數a和b分別被稱為復數的實部和虛部。一些作者使用術語純虛數來表示所謂的虛數，虛數表示具有非零虛部的任何復數。

例如：（1）2+3i就表示一個復數，2是實部，3i表示虛部，3i就表示一個純虛數；

（2）-1的開方就是虛數，稱為一個虛數單位。

虛數的由來：

隨著數學的發展，數學家發現一些三次方程的實數根還非得用負數的平方根表示不可，而且如果承認了負數的平方根，那麼代數方程的有無根問題就可以得到解決，並且會得出n次方程有n個根這樣一個令人滿意的結果，此外對負數的平方根按數的運演算法則進行運算，結果也是正確的。

義大利數學家卡爾丹作出一個折中，表示他稱負數的平方根為 「虛構的數」，意思是可以承認它為數，但不像實數那樣可以表示實際存在的量，而是虛構的，到了1632年，法國數學家笛卡兒正式給了負數的平方根，一個大家樂於接受的名字——虛數。

虛數的虛字，表示它不代表實際的數，而只存在於想像之中，盡管虛數是 「虛」的，但數學家卻沒有放鬆對它的研究。

他們發現了關於虛數的許許多多的性質和應用，大數學家歐拉提出了 「虛數單位」的概念，他把U作為虛數單位，用符號i表示，相當於實數的單位1，虛數有了單位，就能像實數一樣寫成虛數單位倍數的形式了。

從此數學家把實數與虛數同等對待，並合稱為復數，於是數的家族得到了統一，任何一個復數可以寫成a+bi的形式，當b=0時，a+bi=a，它就是實數當；b#0時，a+bi就是虛數了。

以上內容參考：網路-虛數

Ⅱ 虛數的來源

在數學里，將偶指數冪是負數的數定義為純虛數。所有的虛數都是復數。定義為i²=-1。但是虛數是沒有算術根這一說的，所以±√(-1)=±i。對於z=a+bi,也可以表示為e的iA次方的形式，其中e是常數，i為虛數單位，A為虛數的幅角，即可表示為z=cosA+isinA。實數和虛數組成的一對數在復數范圍內看成一個數，起名為復數。虛數沒有正負可言。不是實數的復數，即使是純虛數，也不能比較大小。[2]

起源
要追溯虛數出現的軌跡，就要聯系與它相對實數的出現過程。我們知道，實數是與虛數相對應的，它包括有理數和無理數，也就是說它是實實在在存在的數。

有理數是伴隨人們的生產實踐而產生的。

實軸和虛軸
無理數的發現，應該歸功於古希臘畢達哥拉斯學派。無理數的出現，與德謨克利特的「原子論」發生矛盾。根據這一理論，任何兩個線段的比，不過是它們所含原子數目的經。而勾股定理卻說明了存在著不可通約的線段。

不可通約線段的存在，使古希臘的數學家感到左右為難，因為他們的學說中只有整數和分數的概念，他們不能完全表示正方形對角線與邊長的比，也就是說，在他們那裡，正方形對角線與邊長的比不能用任何「數」來表示。西亞他們已經發現了無理數這個問題，但是卻又讓它從自己的身邊悄悄溜走了，甚至到了希臘最偉大的代數學家丟番圖那裡，方程的無理數解仍然被稱為是「不可能的」。

「虛數」這個名詞是17世紀著名數學家、哲學家笛卡爾創制，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。

人們發現即使使用全部的有理數和無理數，也不能解決代數方程的求解問題。像x²+1=0這樣最簡單的二次方程，在實數范圍內沒有解。12世紀的印度大數學家婆什伽羅都認為這個方程是沒有解的。他認為正數的平方是正數，負數的平方也是正數，因此，一個正數的平方根是兩重的；一個正數和一個負數，負數沒有平方根，因此負數不是平方數。這等於不承認方程的負數平方根的存在。

到了16世紀，義大利數學家卡爾達諾在其著作《大術》（《數學大典》）中，把記為1545R15-15m這是最早的虛數記號。但他認為這僅僅是個形式表示而已。1637年法國數學家笛卡爾，在其《幾何學》中第一次給出「虛數」的名稱，並和「實數」相對應。

Ⅲ 虛數和邦貝利兩者之間有什麼

分析術傑出大師邦貝利

虛數的引入是人類在對數的認識過程中向前跨出的一大步，「虛數」這一名詞是由笛卡爾在他的《幾何》中首先創用的，大數學家歐拉最先引進了虛數符號「i」。在虛數的引入和應用過程中我們還應該提到另一個人的名字，那就是義大利數學家邦貝利。

Ⅳ 虛數是如何發現的

從自然數逐步擴大到了實數，數是否「夠用」了？夠不夠用，要看能不能滿足實踐的需要。

在研究一元二次方程x2+1=0時，人們提出了一個問題：我們都知道在實數范圍內x2+1=0是沒有解的，如果硬把它解算一下，看看會得到什麼結果呢？

由x2+1=0，得x2=-1。

兩邊同時開平方，得x=±-1（通常把-1記為i）。

-1是什麼？是數嗎？關於這個問題的正確回答，經歷了一個很長的探索過程。

16世紀義大利數學家卡爾丹和邦貝利在解方程時，首先引進了-1，對它還進行過運算。

17世紀法國數學家和哲學家笛卡兒把-1做」虛數」，意思是「虛假的數」、「想像當中的，並不存在的數」。他把人們熟悉的有理數和無理數叫做「實數」，意思是「實際存在的數」。

數學家對虛數是什麼樣的數，一直感到神秘莫測。笛卡兒認為：虛數是「不可思議的」。大數學家萊布尼茲一直到18世紀還以為「虛數是神靈美妙與驚奇的避難所，它幾乎是又存在又不存在的兩棲物」。

隨著數學研究的進展，數學家發現像-1這樣的虛數非常有用，後來把形如2+3-1，6-5-1，一般地把a+b-1記為a+bi，其中a，b為實數，這樣的數叫做復數。

當b=0時，就是實數；

當b≠0時，叫做虛數。

當a=0，b≠0時，叫做純虛數。

虛數作為復數的一部分，也是客觀存在的一種數，並不是虛無飄渺的。由於引進了虛數單位-1=i，開闊了數學家的視野，解決了許多數學問題。如負數在復數范圍內可以開偶次方，因此在復數內加、減、乘、除、乘方、開方六種運算總是可行的；在實數范圍內一元n次方程不一定總是有根的，比如x2+1=0在實數范圍內就無根。但是在復數范圍內一元n次方程總有幾個根。復數的建立不僅解決了代數方面的問題，也為其他學科和工程技術解決了許多問題。

自然數、整數、有理數、實數、復數，人類認識的數，在不斷地向外膨脹。

隨著數概念的擴大，數增添了許多新的性質，但是也減少了某些性質。比如在實數范圍內，數之間是可以比較大小的，可是在復數范圍內，數之間已經不能比較大小了。

所謂能比較大小，就是對於規定的「>」關系能滿足下面四條性質：

（1）對於任意兩個不同的實數。a和b，或a>b，或b>a，兩者不能同時成立。

（2）若a>b，b>c，則a>c

（3）若a>b，則a+c>b+c

（4）若a>b，c>0，則ac>bc

對於實數范圍內的數，「＞」關系是滿這四條性質的。但對於復數范圍內，數之間是否能規定一種「＞」關系來滿足上述四條性質呢？答案是不能的，也就是說復數不能比較大小。

為了證明這個結論，我們需要交待復數運算的部分內容，證明中要用到它：

（1）-1·-1=-1-1·0=0

--1·0=0

（--1）·（--1）=-1

-1+（--1）=0

0+（--1）=--1

（2）復數中的實數仍按實數的運演算法則進行運算。

現在用反證法證明復數不能比較大小。假設我們找到了一種「＞」關系（注意：「＞」關系不一定是實數中規定的含義）來滿足上述四條性質。當然對於-1應具有性質（1）：

-1＞0或0＜-1

先證明-1＞0不可能。

-1＞0的兩邊同乘-1，由性質（4）得：

-1·-1＞-1·0

-1＞0

（注意：由於「＞」不一定是實數各規定的含義，故未導出矛盾。）

-1＞0的兩邊同加1，由性質（3）得：

-1+1＞0+1

0＞1

-1＞0的兩邊同乘-1，由性質（4）得：

（-1）·（-1）＞（-1）·0

1＞0

於是得到0＞1，而且1＞0，也就是0與1無法滿足性質（1），這與假設形成矛盾，所以-1＞0是不可能的。

其次證明0＞-1不可能。

0＞-1的兩邊同加--1，由性質（3）得：

0+（--1）＞-1+（--1）

--1＞0

--1＞0的兩邊同乘--1，由性質（4）得：

（--1）·（--1）＞（--1＞）·0

-1＞0

以下可依第一種情況證明，導出矛盾，所以0＞-1不可能。

以上證明從復數中取出兩個數-1與0是無法比較大小的，從而證明了復數沒有大小關系。

復數無大小，聽來新鮮，確是事實！

Ⅳ 復數的來歷

「復數」、「虛數」這兩個名詞，都是人們在解方程時引入的。為了用公式求一元二次、三次方程的根，就會遇到求負數的平方根的問題。1545年，義大利數學家卡丹諾（GirolamoCardano,1501年~1576年）在《大術》一書中，首先研究了虛數，並進行了一些計算。1572年，義大利數學家邦別利（RafaclBombclli,1525年~1650年）正式使用「實數」「虛數」這兩個名詞。此後，德國數學家萊布尼茲（GottfriedWilbclmLcibniz,1646年~1716年）、瑞士數學家歐拉（LeonhardEuler,1707年~1783年）和法國數學家棣莫佛（AbrabamdeMoivre,1667年~1754年）等又研究了虛數與對數函數、三角函數等之間的關系，除解方程以外，還把它用於微積分等方面，得出很多有價值的結果，使某些比較復雜的數學問題變得簡單而易於處理。大約在1777年，歐拉第一次用i來表示-1的平方根，1832年，德國數學家高斯（CarlFricdrichGauss,1777年~1855年）第一次引入復數概念，一個復數可以用a＋bi來表示，其中a，b是實數，i代表虛數單位，這樣就把虛數與實數統一起來了。高斯還把復數與復平面內的點一一對應起來，給出了復數的一種幾何解釋。不久，人們又將復數與平面向量聯系起來，並使其在電工學、流體力學、振動理論、機翼理論中得到廣泛的實際應用，然後，又建立了以復數為變數的「復變函數」的理論，這是一個嶄新而強有力的數學分支，所以我們應該深刻認識到了「虛數不虛」的道理。
16世紀義大利米蘭學者卡當（Jerome Cardan1501—1576）在1545年發表的《重要的藝術》一書中，公布了三次方程的一般解法，被後人稱之為「卡當公式」。他是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家，並且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等於40時，他把答案寫成=40，盡管他認為和這兩個表示式是沒有意義的、想像的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，並使它們的乘積等於40。給出「虛數」這一名稱的是法國數學家笛卡爾（1596—1650），他在《幾何學》（1637年發表）中使「虛的數」與「實的數」相對應，從此，虛數才流傳開來。

數系中發現一顆新星——虛數，於是引起了數學界的一片困惑，很多大數學家都不承認虛數。德國數學家萊布尼茨（1646—1716）在1702年說：「虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物」。瑞士數學大師歐拉（1707—1783）說；「一切形如，習的數學武子都是不可能有的，想像的數，因為它們所表示的是負數的平方根。對於這類數，我們只能斷言，它們既不是什麼都不是，也不比什麼都不是多些什麼，更不比什麼都不是少些什麼，它們純屬虛幻。」然而，真理性的東西一定可以經得住時間和空間的考驗，最終佔有自己的一席之地。法國數學家達朗貝爾（1717—1783）在1747年指出，如果按照多項式的四則運算規則對虛數進行運算，那麼它的結果總是的形式（a、b都是實數）（說明：現行教科書中沒有使用記號＝－i，而使用=一1）。法國數學家棣莫佛（1667—1754）在1730年發現公式了，這就是著名的棣莫佛定理。歐拉在1748年發現了有名的關系式，並且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來表示一1的平方根，首創了用符號i作為虛數的單位。「虛數」實際上不是想像出來的，而它是確實存在的。挪威的測量學家成塞爾（1745—1818）在1779年試圖給於這種虛數以直觀的幾何解釋，並首先發表其作法，然而沒有得到學術界的重視。

德國數學家高斯（1777—1855）在1806年公布了虛數的圖象表示法，即所有實數能用一條數軸表示，同樣，虛數也能用一個平面上的點來表示。在直角坐標系中，橫軸上取對應實數a的點A，縱軸上取對應實數b的點B，並過這兩點引平行於坐標軸的直線，它們的交點C就表示復數a＋bi。象這樣，由各點都對應復數的平面叫做「復平面」，後來又稱「高斯平面」。高斯在1831年，用實數組（a，b）代表復數a＋bi，並建立了復數的某些運算，使得復數的某些運算也象實數一樣地「代數化」。他又在1832年第一次提出了「復數」這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐標法和極坐標法加以綜合。統一於表示同一復數的代數式和三角式兩種形式中，並把數軸上的點與實數—一對應，擴展為平面上的點與復數—一對應。高斯不僅把復數看作平面上的點，而且還看作是一種向量，並利用復數與向量之間—一對應的關系，闡述了復數的幾何加法與乘法。至此，復數理論才比較完整和系統地建立起來了。

經過許多數學家長期不懈的努力，深刻探討並發展了復數理論，才使得在數學領域游盪了200年的幽靈——虛數揭去了神秘的面紗，顯現出它的本來面目，原來虛數不虛呵。虛數成為了數系大家庭中一員，從而實數集才擴充到了復數集。

Ⅵ 虛數是什麼

虛數是指平方是負數的數。虛數這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創制，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。

目錄

簡要介紹
公式三角函數
四則運算
共軛復數
乘方
數學中的虛數實際意義
起源
i的性質
有關運算
符號來歷
相關描述
簡要介紹
公式 三角函數
四則運算
共軛復數
乘方
數學中的虛數 實際意義
起源
i的性質
有關運算
符號來歷
相關描述
展開 編輯本段簡要介紹
實軸和虛軸
虛數可以指以下含義： (1)[unreliable figure]：虛假不實的數字。 (2)[imaginary part]：復數中a+bi，b叫虛部，a叫實部。 (3)[imaginary number]：漢語中不表明具體數量的詞。 如果有數平方是負數的話，那個數就是虛數了；所有的虛數都是復數。「虛數」這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創制，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱復數平面，復平面上每一點對應著一個復數。
編輯本段公式
三角函數
sin(a+bi)=sinacosbi+sinbicosa =sinachb+ishbcosa cos(a-bi)=coscosbi+sinbisina =cosachb+ishbsina tan(a+bi)=sin(a+bi)/cos(a+bi) cot(a+bi)=cos(a+bi)/sin(a+bi) sec(a+bi)=1/cos(a+bi) csc(a+bi)=1/sin(a+bi)
四則運算
(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i (a+bi)(c+di）=(ac-bd)+(ad+bc)i (a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)i r1(isina+cosa)r2(isinb+cosb)=r1r2(cos(a+b)+isin(a+b) r1(isina+cosa）/r2(isinb+cosb)=r1/r2(cos(a-b)+isin(a-b)) r(isina+cosa)^n=r^n(isinna+cosna)
共軛復數
_(a+bi)=a-bi _(z1+z2)=_z1+_z2 _(z1-z2)=_z1-_z2 _(z1z2)=_z1_z2 _(z^n)=(_z)^n _z1/z2=_z1/_z2 _z*z=|z|^2∈R
乘方
z^mz^n=z^(m+n) z^m/z^n=z^(m-n) (z^m)^n=z^mn z1^mz2^m=(z1z2)^m (z^m)^1/n=z^m/n z*z*z*…*z（n個）=z^n z1^n=z2-->z2=z1^1/n logai(x)=1/ iπ/2 ln(x)+logx(e) a^(ai+b)=a^ai*a^b = a^b[cosln(x^n) + i sinln(x^n). ]
編輯本段數學中的虛數
在數學里，將平方是負數的數定義為純虛數。所有的虛數都是復數。定義為i^2=-1。但是虛數是沒有算術根這一說的，所以±√(-1)=±i。對於z=a+bi,也可以表示為e的iA次方的形式，其中e是常數，i為虛數單位，A為虛數的幅角，即可表示為z=cosA+isinA。實數和虛數組成的一對數在復數范圍內看成一個數，起名為復數。虛數沒有正負可言。不是實數的復數，即使是純虛數，也不能比較大小。 這種數有一個專門的符號「i」(imaginary)，它稱為虛數單位。不過在電子等行業中，因為i通常用來表示電流，所以虛數單位用j來表示。
實際意義
我們可以在平面直角坐標系中畫出虛數系統。如果利用橫軸表示全體實數，那麼縱軸即可表示虛數。整個平面上每一點對應著一個復數，稱為復平面。橫軸和縱軸也改稱為實 虛數
軸和虛軸。 不能滿足於上述圖像解釋的同學或學者可參考以下題目和說明： 若存在一個數，它的倒數等於它的相反數（或者它的倒數的相反數為其自身），這個數是什麼形式？ 根據這一要求，可以給出如下方程： -x = (1/x) 不難得知，這個方程的解x=i （虛數單位） 由此，若有代數式 t'=ti，我們將i理解為從t的單位到t'的單位之間的轉換單位，則t'=ti將被理解為 -t' = 1/t 即 t' = - 1/t 這一表達式在幾何空間上的意義不大，但若配合狹義相對論，在時間上理解，則可以解釋若相對運動速度可以大於光速c，相對時間間隔產生的虛數值，實質上是其實數值的負倒數。也就是所謂回到過去的時間間隔數值可以由此計算出來。 虛數成為微晶片和數字壓縮演算法設計中的核心工具，虛數是引發電子學革命的量子力學的理論基礎。
起源
要追溯虛數出現的軌跡，就要聯系與它相對實數的出現過程。我們知道，實數是與虛數相對應的，它包括有理數和無理數，也就是說它是實實在在存在的數。 有理數出現的非常早，它是伴隨人們的生產實踐而產生的。 無理數的發現，應該歸功於古希臘畢達哥拉斯學派。無理數的出現，與德謨克利特的「原子論」發生矛盾。根據這一理論，任何兩個線段的比，不過是它們所含原子數目的經。而勾股定理卻說明了存在著不可通約的線段。 不可通約線段的存在，使古希臘的數學家感到左右為難，因為他們的學說中只有整數和分數的概念，他們不能完全表示正方形對角線與邊長的比，也就是說，在他們那裡，正方形對角線與連長的比不能用任何「數」來表示。西亞他們已經發同了無理數這個問題，但是卻又讓它從自己的身邊悄悄溜走了，甚至到了希臘最偉大的代數學家丟番圖那裡，方程的無理數解仍然被稱為是「不可能的」。 「虛數」這個名詞是17世紀著名數學家、哲學家笛卡爾創制，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。 人們發現即使使用全部的有理數和無理數，也不能長度解決代數方程的求解問題。像x^2+1=0這樣最簡單的二次方程，在實數范圍內沒有解。12世紀的印度大數學家婆什伽羅都認為這個方程是沒有解的。他認為正數的平方是正數，負數的平方也是正數，因此，一個正數的平方根是兩重的；一個正數和一個負數，負數沒有平方根，因此負數不是平方數。這等於不承認方程的負數平方根的存在。 到了16世紀，義大利數學家卡爾達諾在其著作《大術》（《數學大典》）中，把記為1545R15-15m這是最早的虛數記號。但他認為這僅僅是個形式表示而已。1637年法國數學家笛卡爾，在其《幾何學》中第一次給出「虛數」的名稱，並和「實數」相對應。 1545年義大利米蘭的卡爾達諾發表了文藝復興時期最重要的一部代數學著作，提出了一種求解一般三次方程的求解公式： 形如：x^3+ax+b=0的三次方程解如下：x={(-b/2)+[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3)+{(-b/2)-[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3) 當卡丹試圖用該公式解方程x^3-15x-4=0時他的解是：x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3) 在那個年代負數本身就是令人懷疑的，負數的平方根就更加荒謬了。因此卡丹的公式給出x=(2+j)+(2-j)=4。容易證明x=4確實是原方程的根，但卡丹不曾熱心解釋(-121)^(1/2)的出現。認為是「不可捉摸而無用的東西」。 直到19世紀初，高斯系統地使用了i這個符號，並主張用數偶（a、b）來表示a+bi，稱為復數，虛數才逐步得以通行。 由於虛數闖進數的領域時，人們對它的實際用處一無所知，在實際生活中似乎沒有用復數來表達的量，因此在很長一段時間里，人們對它產生過種種懷疑和誤解。笛卡爾稱「虛數」的本意就是指它是虛假的；萊布尼茲則認為：「虛數是美妙而奇異的神靈隱蔽所，它幾乎是既存在又不存在的兩棲物。」歐拉盡管在許多地方用了虛數，但又說：「一切形如,√-1，√-2的數學式子都是不可能有的，想像的數，因為它們所表示的是負數的平方根。對於這類數，我們只能斷言，它們既不是什麼都不是，也不比什麼都不是多些什麼，更不比什麼都不是少些什麼，它們純屬虛幻。」

Ⅶ 虛數的定義

虛數可以指以下含義： (1)[unreliable figure]：虛假不實的數字。
(2)[imaginary part]：復數中a+bi，b不等於零時bi叫虛數。
(3)[imaginary number]：漢語中不表明具體數量的詞。 [編輯本段]數學中的虛數在數學里，將平方是負數的數定義為純虛數。所有的虛數都是復數。定義為i^2=-1。但是虛數是沒有算術根這一說的，所以√(-1)=±i。對於z=a+bi,也可以表示為e的iA次方的形式，其中e是常數，i為虛數單位，A為虛數的幅角，即可表示為z=cosA+isinA。實數和虛數組成的一對數在復數范圍內看成一個數，起名為復數。虛數沒有正負可言。不是實數的復數，即使是純虛數，也不能比較大小。
這種數有一個專門的符號「i」(imaginary)，它稱為虛數單位。不過在電子等行業中，因為i通常用來表示電流，所以虛數單位用j來表示。 [編輯本段]虛數的實際意義我們可以在平面直角坐標系中畫出虛數系統。如果利用橫軸表示全體實數，那麼縱軸即可表示虛數。整個平面上每一點對應著一個復數，稱為復平面。橫軸和縱軸也改稱為實軸和虛軸。 [編輯本段]起源「虛數」這個名詞是17世紀著名數學家、哲學家笛卡爾創制，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。
人們發現即使使用全部的有理數和無理數，也不能長度解決代數方程的求解問題。像x 2+1=0這樣最簡單的二次方程，在實數范圍內沒有解。12世紀的印度大數學家婆什伽羅都認為這個方程是沒有解的。他認為正數的平方是正數，負數的平方也是正數，因此，一個正數的平方根是兩重的；一個正數和一個負數，負數沒有平方根，因此負數不是平方數。這等於不承認方程的負根的存在。
到了16世紀，義大利數學家卡當在其著作《大法》（《大衍術》）中，把記為1545R15-15m這是最早的虛數記號。但他認為這僅僅是個形式表示而已。1637年法國數學家笛卡爾，在其《幾何學》中第一次給出「虛數」的名稱，並和「實數」相對應。
1545年義大利米蘭的卡丹發表了文藝復興時期最重要的一部代數學著作，提出了一種求解一般三次方程的求解公式：
形如：x^3+ax+b=0的三次方程解如下：x={(-b/2)+[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3)+{(-b/2)-[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3)
當卡丹試圖用該公式解方程x^3-15x-4=0時他的解是：x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3)
在那個年代負數本身就是令人懷疑的，負數的平方根就更加荒謬了。因此卡丹的公式給出x=(2+j)+(2-j)=4。容易證明x=4確實是原方程的根，但卡丹不曾熱心解釋(-121)^(1/2)的出現。認為是「不可捉摸而無用的東西」。
直到19世紀初，高斯系統地使用了這個符號，並主張用數偶（a、b）來表示a+bi，稱為復數，虛數才逐步得以通行。
由於虛數闖進數的領域時，人們對它的實際用處一無所知，在實際生活中似乎沒有用復數來表達的量，因此在很長一段時間里，人們對它產生過種種懷疑和誤解。笛卡爾稱「虛數」的本意就是指它是虛假的；萊布尼茲則認為：「虛數是美妙而奇異的神靈隱蔽所，它幾乎是既存在又不存在的兩棲物。」歐拉盡管在許多地方用了虛數，但又說一切形如
繼歐拉之後，挪威測量學家維塞爾提出把復數（a+bi）用平面上的點來表示。後來高斯又提出了復平面的概念，終於使復數有了立足之地，也為復數的應用開辟了道路。現在，復數一般用來表示向量（有方向的量），這在水利學、地圖學、航空學中的應用十分廣泛，虛數越來越顯示出其豐富的內容。 [編輯本段]i的性質i 的高次方會不斷作以下的循環：
i^1 = i
i^2 = - 1
i^3 = - i
i^4 = 1
i^5 = i
i^6 = - 1...
由於虛數特殊的運算規則，出現了符號i
當ω=(-1+√3i)/2或ω=(-1-√3i)/2時：
ω^2 + ω + 1 = 0
ω^3 = 1
許多實數的運算都可以推廣到i，例如指數、對數和三角函數。
一個數的ni次方為：
x^(ni) = cos(ln(x^n)) + i sin(ln(x^n)).
一個數的ni次方根為：
x^(1/ni) = cos(ln(x^(1/n))) - i sin(ln((x^(1/n))).
以i為底的對數為：
log_i(x) = 2 ln(x)/ i*pi.
i的餘弦是一個實數：
cos(i) = cosh(1) = (e + 1/e)/2 = (e^2 + 1) /2e = 1.54308064.
i的正弦是虛數：
sin(i) = sinh(1) * i = (e - 1/e)/ 2} * i = 1.17520119 i.
i,e,π,0和1的奇妙關系：
e^(i*π)+1=0
i^I=e^(-π÷2） [編輯本段]符號來歷1777年瑞士數學家歐拉(Euler，或譯為歐勒)開始使用符號i表示虛數的單位。而後人將虛數和實數有機地結合起來,寫成a+bi形式 (a、b為實數，a等於0時叫純虛數，ab都不等於0時叫復數，b等於0時就是實數)。
通常，我們用符號C來表示復數集，用符號R來表示實數集。 [編輯本段]相關描述虛數 原作：勞倫斯·馬克·萊瑟（阿姆斯特朗大西洋州立學院）
翻譯：徐國強
虛文自古向空構，艾字如今可倍乘。所問逢人驚詫甚，生活何處有真能？嗟哉小試調音放，訝矣大為掌夜燈。三極體中知用否，交流電路肯咸恆。憑君漫問荒唐義，負值求根疑竇增。情類當初聽慣耳，事關負數見折肱。幾分繁復融學域，百計聯席悅有朋。但看幾何三角地，蓬勃艾草意同承[①]。
IMAGINARY by Lawrence Mark LesserArmstrong Atlantic State University
Imaginary numbers, multiples of iEverybody wonders, "are they used in real life?"Well, try the amplifier I'm using right now -- A.C.!You say it's absurd,this root of minus one.but the same things once were heardAbout the number negative one!Imaginary numbers are a bit complex,But in real mathematics, everything connects:Geometry, trig and call all see "i to i."
[①] see "i to i."指可見虛數符號的應用，並諧音雙關see eye to eye 為意見一致[1]

參考資料：
《人文數學網路期刊》22期48頁

開放分類：
詞語，數學，詞彙，數詞，復數

Ⅷ 純虛數是什麼

一、性質不同

1、純虛數：一個實數乘以i稱為純虛數。

2、虛數：在復數域中，負數-1的平方根記為i(即i²=-1)。

二、計算方式不同

1、純虛數計算方式：當a=0,b≠0時，叫作純虛數。

2、虛數計算方式：當b≠0時，叫作虛數。

三、表達形式不同

1、純虛數表達形式：z=bi(b≠0)

2、虛數表達形式：a=a+i

(8)哪個義大利數學家研究了虛數擴展閱讀：

虛數的發展歷史：

16世紀，義大利數學家卡爾達諾在著作《《大術》（《數學大典》）中，寫下了1545R15-15m。這是最早的虛數標記。但卡爾達諾認為這只是一個正式的表達。

1637年，法國數學家笛卡爾在幾何學中首次給出「虛數」的名稱，並對應於「實數」。

1843年，威廉·羅文·漢密爾頓將平面中虛軸的概念擴展到四元數的虛四維空間，其中三個與復數域中的虛數相似。

Ⅸ 虛數的歷史地位是如何確定的

「虛數」這個名詞是17世紀著名數學家、哲學家笛卡爾創制，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。 人們發現即使使用全部的有理數和無理數，也不能長度解決代數方程的求解問題。像x^2+1=0這樣最簡單的二次方程，在實數范圍內沒有解。12世紀的印度大數學家婆什伽羅都認為這個方程是沒有解的。他認為正數的平方是正數，負數的平方也是正數，因此，一個正數的平方根是兩重的;一個正數和一個負數，負數沒有平方根，因此負數不是平方數。這等於不承認方程的負根的存在。 到了16世紀，義大利數學家卡當在其著作《大法》(《大衍術》)中，把記為1545R15-15m這是最早的虛數記號。但他認為這僅僅是個形式表示而已。1637年法國數學家笛卡爾，在其《幾何學》中第一次給出「虛數」的名稱，並和「實數」相對應。 1545年義大利米蘭的卡丹發表了文藝復興時期最重要的一部代數學著作，提出了一種求解一般三次方程的求解公式: 形如:x^3+ax+b=0的三次方程解如下:x={(-b/2)+[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3)+{(-b/2)-[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3) 當卡丹試圖用該公式解方程x^3-15x-4=0時他的解是:x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3) 在那個年代負數本身就是令人懷疑的，負數的平方根就更加荒謬了。因此卡丹的公式給出x=(2+j)+(2-j)=4。容易證明x=4確實是原方程的根，但卡丹不曾熱心解釋(-121)^(1/2)的出現。認為是「不可捉摸而無用的東西」。 直到19世紀初，高斯系統地使用了這個符號，並主張用數偶(a、b)來表示a+bi，稱為復數，虛數才逐步得以通行。 由於虛數闖進數的領域時，人們對它的實際用處一無所知，在實際生活中似乎沒有用復數來表達的量，因此在很長一段時間里，人們對它產生過種種懷疑和誤解。笛卡爾稱「虛數」的本意就是指它是虛假的;萊布尼茲則認為:「虛數是美妙而奇異的神靈隱蔽所，它幾乎是既存在又不存在的兩棲物。」歐拉盡管在許多地方用了虛數，但又說:「一切形如,√-1，√-2的數學式子都是不可能有的，想像的數，因為它們所表示的是負數的平方根。對於這類數，我們只能斷言，它們既不是什麼都不是，也不比什麼都不是多些什麼，更不比什麼都不是少些什麼，它們純屬虛幻。」 繼歐拉之後，挪威測量學家維塞爾提出把復數(a+bi)用平面上的點來表示。後來高斯又提出了復平面的概念，終於使復數有了立足之地，也為復數的應用開辟了道路。現在，復數一般用來表示向量(有方向的量)，這在水利學、地圖學、航空學中的應用十分廣泛，虛數越來越顯示出其豐富的內容。

Ⅹ 什麼是虛數它和實數有什麼區別

實數，是有理數和無理數的總稱。實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。

在數學中，虛數就是形如a+b*i的數，其中a,b是實數，且b≠0,i² = - 1。

虛數這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創立，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數a+b*i的實部a可對應平面上的橫軸，虛部b與對應平面上的縱軸，這樣虛數a+b*i可與平面內的點(a,b)對應。

(10)哪個義大利數學家研究了虛數擴展閱讀

像x+1=0這樣最簡單的二次方程，在實數范圍內沒有解。12世紀的印度大數學家婆什伽羅都認為這個方程是沒有解的。他認為正數的平方是正數，負數的平方也是正數。

因此，一個正數的平方根是兩重的；一個正數和一個負數，負數沒有平方根，因此負數不是平方數。這等於不承認方程的負數平方根的存在。

到了16世紀，義大利數學家卡爾達諾在其著作《大術》（《數學大典》）中，把記為1545R15-15m這是最早的虛數記號。但他認為這僅僅是個形式表示而已。1637年法國數學家笛卡爾，在其《幾何學》中第一次給出「虛數」的名稱，並和「實數」相對應。